Question

14．已知直線y=kx+m（k＜0）與拋物線y=x²+bx+c相交于拋物線的頂點P和另一點Q
（1）若點P（2，-c），Q的橫坐標為-1．求點Q的坐標；
（2）過點Q作x軸的平行線與拋物線y=x²+bx+c的對稱軸相交于點E，直線PQ與y軸交于點M，若PE=2EQ，c=$\frac{^{2}-4}{4}$（-4＜b≤0），求△OMQ的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式求出b，再將P代入拋物線得到c，求出拋物線解析式，根據(jù)Q點的橫坐標即可解決問題．
（2）由題意可以假設(shè)直線PQ為y=-2x+b′，利用方程組求出點Q坐標，分兩種情形①-1≤b≤0時，②-4＜b∠-1時，構(gòu)建二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）由題意：-$\frac{2a}$=2，a=1，
∴b=-4，∴拋物線為y=x²-4x+c，將P（2，-c）代入得到，-c=4-8+c，
∴c=2，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+2，
∵點Q橫坐標為-1，
∴x=-1時，y=7
∴點Q坐標為（-1，7）．

（2）由題意可以假設(shè)直線PQ為y=-2x+b′，
∵頂點P（-$\frac{2}$，-1），代入上式得到：-1=b+b′，
∴b′=-1-b，
∴直線PQ為y=-2x-1-b，∴點M坐標（0，-1-b），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-1-b}\\{y={x}^{2}+bx+\frac{^{2}-4}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴點Q坐標（-2-$\frac{2}$，3），
∵-4＜b≤0，
①-1≤b≤0時，
∴S_△OQM=$\frac{1}{2}$•（2+$\frac{2}$）•（1+b）=$\frac{1}{4}$（b+$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{16}$，
∴b=0時，△OQM的面積最大，最大值為1．
②-4＜b∠-1時，
S_△OQM=$\frac{1}{2}$•（2+$\frac{2}$）•（-1-b）=-$\frac{1}{4}$（b+$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴b=-$\frac{5}{2}$時，△OQM的面積最大，最大值為$\frac{9}{16}$，
綜上所述，△OQM的面積的最大值為1．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法解決問題，學(xué)會利用方程組求交點坐標，題目比較難，學(xué)會分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．