Question

9．如圖所示，A，B是坐標軸正半軸上的兩點，過點B作PB⊥y軸交雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）于P點，A，B兩點的坐標分別為（1，0），（0，3），x軸上的動點M在點A的右側，動點N在射線BP上，過點A作AB的垂線，交射線BP于D點，交直線MN于Q點，連結BQ，取BQ的中點C，若以A，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，則Q點的坐標為（4，1）或（28，9）．
 

Answer 1

分析 首先求出直線AD的解析式，求出點D坐標，分兩種情形討論①如圖1中，當Q在線段AD上時，作QE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F．②如圖2中，當點Q在AD的延長線上時，作QF⊥x軸于F，DE⊥AF于E．分別求解即可．

解答 解：∵A（1，0），B（0，3），
∴直線AB的解析式為y=-3x+3，
∵AD⊥AB，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∵BD⊥y軸，
∴BD∥OA，
∴D（10，3），
①如圖1中，當Q在線段AD上時，作QE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F．

∵四邊形ACNQ是平行四邊形，
∴AQ=CN，CN∥AD，
∵BC=CQ，
∴BN=ND，
∴DQ=2CN=2AQ，
∵QE∥DF，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QE}{DF}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
∵AF=9，DF=3，
∴QE=1，AE=3，
∴點Q坐標為（4，1）．

②如圖2中，當點Q在AD的延長線上時，作QF⊥x軸于F，DE⊥AF于E．

∵四邊形ACQN是平行四邊形，
∴AN∥BQ，AN=CQ，
∴$\frac{AN}{BQ}$=$\frac{AD}{DQ}$，∵BC=CQ，
∴$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{1}{2}$，
∵DE∥QF，
∴$\frac{DE}{QF}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AD}{AQ}$=$\frac{1}{3}$，
∵AE=9，DE=3，
∴QF=9，AF=27，
∴點Q坐標（28，9），
綜上所述點Q坐標（4，1）或（28，9）．
故答案為（4，1）或（28，9）．

點評 本題考查反比例函數(shù)，相似三角形的判定和性質、平行線等分線段定理、一次函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的性質解決問題，學會分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．