Question

4．某廣場地面鋪滿了邊長為36cm的正六邊形地磚，現(xiàn)在向上拋擲半徑為6$\sqrt{3}$cm的圓碟，圓碟落地后與地磚間的間隙不相交的概率為（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 欲使圓碟不壓地磚間的間隙，則圓碟的圓心必須落在與地磚同中心、且邊與地磚邊彼此平行、距離為6$\sqrt{3}$cm的小正六邊形內，從而計算這個小正多邊形的面積，小正多邊形與正六邊形的面積之比即為所求．

解答 解：欲使圓碟不壓地磚間的間隙，則圓碟的圓心必須落在與地磚同中心、且邊與地磚邊彼此平行、距離為6$\sqrt{3}$cm的小正六邊形內（如圖）．作OC₁⊥A₁A₂，且C₁C₂=6$\sqrt{3}$cm．
因A₁A₂=A₂O=36，A₂C₁=18，所以，
C₁O=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₂O=18$\sqrt{3}$．
則C₂O=C₁O-C₁C₂=12$\sqrt{3}$．
又因為C₂O=$\sqrt{3}$B₂O，所以，
B₂O=$\frac{2}{\sqrt{3}}$C₂O=$\frac{2}{\sqrt{3}}$×12$\sqrt{3}$=24．
而B₁B₂=B₂O，則小正六邊形的邊長為24cm．
故所求概率為
P=$\frac{小正六邊形的面積}{正六邊形地磚面積}$=（$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{{A}_{1}{A}_{2}}$）²=（$\frac{24}{36}$）²=$\frac{4}{9}$．
故選A．

點評 本題考查的是幾何概率、正多邊形和圓的綜合利用，關鍵是理清題意，找準之間的關系進行解題．