Question

9．如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點(diǎn)D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長(zhǎng)GE至點(diǎn)F，使得BE=BF．
（1）求證：四邊形BDEF為平行四邊形；
（2）當(dāng)∠C=45°，BD=2時(shí)，求D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C，證出∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，得出∠DEG=∠C，證出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出結(jié)論；
（2）證出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，作FM⊥BD于M，連接DF，則△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=1，得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四邊形BDEF為平行四邊形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
作FM⊥BD于M，連接DF，如圖所示：
則△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
即D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．