Question

12．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，C落在坐標(biāo)軸上，且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，2）將△ABC沿x軸向右平移7個(gè)單位得到△A′B′C′，點(diǎn)B′恰好在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，且反比例函數(shù)圖象與A′C′相交于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，$\frac{4}{5}$），在x軸上存在點(diǎn)P，使得線(xiàn)段PB′與線(xiàn)段PD之差最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的規(guī)律得到B'（2，2），再根據(jù)點(diǎn)B′恰好在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，即可得到k的值；
（2）根據(jù)|PB'-PD|≤B'D，可得當(dāng)B'、D、P在同一直線(xiàn)上時(shí)，PB'-PD=B'D成立，此時(shí)線(xiàn)段PB′與線(xiàn)段PD之差最大，再設(shè)直線(xiàn)B'P解析式為y=ax+b，將D（5，$\frac{4}{5}$），B'（2，2）代入，可得直線(xiàn)B'P解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，2），將△ABC沿x軸向右平移7個(gè)單位得到△A′B′C′，
∴B'（2，2），
∵點(diǎn)B′恰好在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）如圖所示，連接PB'，PD，B'D，
∵|PB'-PD|≤B'D，
∴當(dāng)B'、D、P在同一直線(xiàn)上時(shí)，PB'-PD=B'D成立，
此時(shí)線(xiàn)段PB′與線(xiàn)段PD之差最大，
設(shè)直線(xiàn)B'P解析式為y=ax+b，
把D（5，$\frac{4}{5}$），B'（2，2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}=5a+b}\\{2=2a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)B'P解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{14}{5}$，
令y=0，則0=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{14}{5}$，
解得x=7，
∴P（7，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式以及坐標(biāo)與圖形變化的運(yùn)用，解題時(shí)注意：把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度．