Question

16．在正方形ABCD中，點(diǎn)H在對(duì)角線BD上（與點(diǎn)B、D不重合），連接AH，將HA繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與邊CD（或CD延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)P，作HQ⊥BD交射線DC于點(diǎn)Q．
（1）如圖1：
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷DP與CQ的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，當(dāng) DP=1時(shí)，試求∠PHQ的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）①由題意畫(huà)出圖形即可，②先由旋轉(zhuǎn)得出∠AHP=90°，然后判斷出∠QHP=AHD，再得出△QHP≌△DHA即可；
（2）分兩種情況計(jì)算，先由三角函數(shù)求出∠APD=60°，再求出∠APH=45°，最后得到∠PHQ=60°即可．

解答 解：（1）①依題意，補(bǔ)全圖形，如圖1所示，

②DP=CQ，
∵HA繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，與邊CD（或CD延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)P，
∴∠AHP=90°，
∴∠AHD+DHP=90°，
∵HQ⊥BD，
∴∠QHD=90°，
∴∠QHP+∠DHP=90°，
∴∠QHP=AHD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠CDB=∠ADB=45°，AD=CD，
∴∠Q=∠CDB=∠ADB=45°，
∴△QHP≌△DHA，
∴AD=QP，
∴QP=CD，
∴OP-PC=CD-PC，
∴CQ=PD；
（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，連接AP，

∵正方形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，PD=1，∠ADP=90°，
∴tan∠APD=$\sqrt{3}$，
∴∠APD=60°，
∵HA=HP，∠AHP=90°，
∴∠APH=45°，
∴∠HPD=∠APH+∠APD=105°，
∵∠Q=45°，
∴∠PHQ=60°，
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD的延長(zhǎng)線時(shí)，連接AP，

∴∠HPD=∠APD-∠APH=15°，
∵∠HQD=45°，
∴∠PHQ=120°，
∴∠PHQ的度數(shù)為120°或60°．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角或等角的余角相等，判斷△QHP≌△DHA是解本題的關(guān)鍵，分兩種情況是解本題的難點(diǎn)．