Question

15．如圖，在四邊形AOBC中，AC∥OB，頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），AC=24cm，OB=26cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以3m/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)；從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，設(shè)P（Q）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）求直線BC的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AOQP是矩形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ=BC？并求出此時(shí)直線PQ與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），AC=24cm，OB=26cm，分別求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)各是多少；然后應(yīng)用待定系數(shù)法，求出直線BC的函數(shù)解析式即可．
（2）根據(jù)四邊形AOQP是矩形，可得AP=OQ，據(jù)此求出t的值是多少即可．
（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)四邊形PQBC是平行四邊形時(shí)；②當(dāng)四邊形PQBC是等腰梯形時(shí)；然后根據(jù)PQ=BC，求出t的值是多少；最后聯(lián)立直線PQ與直線BC的解析式，求出直線PQ與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），AC=24cm，OB=26cm，
∴B（26，0），C（24，8），
設(shè)直線BC的函數(shù)解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{26k+b=0}\\{24k+b=8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=104}\end{array}\right.$
∴直線BC的函數(shù)解析式是y=-4x+104．

（2）如圖2，

∵四邊形AOQP是矩形，
∴AP=OQ，
∴t=26-3t，
解得t=6.5，
∴當(dāng)t為6.5時(shí)，四邊形AOQP是矩形．

（3）①如圖3，

當(dāng)四邊形PQBC是平行四邊形時(shí)，PQ=BC，PC=BQ，
∴24-t=3t，
解得t=6，
此時(shí)直線PQ與直線BC沒(méi)有交點(diǎn)．
②如圖4，作CD∥PQ交OB于點(diǎn)D，

當(dāng)四邊形PQBC是等腰梯形時(shí)，PQ=BC，
∵PC=BQ-BD，
∴24-t=3t-（26-24）×2，
解得t=7，
∴AP=7，OQ=26-3×7=5，
∴P（7，8）、Q（5，0），
設(shè)直線PQ的解析式是y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{7m+n=8}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-20}\end{array}\right.$
∴直線PQ的解析式是y=4x-20，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-20}\\{y=-4x+104}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{31}{2}}\\{y=42}\end{array}\right.$
∴此時(shí)直線PQ與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{31}{2}$，42）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了行程問(wèn)題中速度、時(shí)間和路程的關(guān)系：速度×?xí)r間=路程，路程÷時(shí)間=速度，路程÷速度=時(shí)間，要熟練掌握．
（3）此題還考查了待定系數(shù)法求出直線的解析式，要熟練掌握．