Question

5．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：
如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)；
解：∵AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的結(jié)論得：$\left\{\begin{array}{l}{∠P+∠3=∠1+∠B①}\\{∠P+∠2=∠4+∠D②}\end{array}\right.$
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=26°．
①如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
②在圖4中，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．
③在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出整理即可得解；
①表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解；
②根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根據(jù)（1）的結(jié)論∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

解答 解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）①如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=$\frac{1}{2}$×（36°+16°）=26°；

②如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°-2∠1）+∠B=（180°-2∠4）+∠D，
在四邊形APCB中，（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，
在四邊形APCD中，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）；

③如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B=（180°-2∠3）+∠D，
∠2+∠P=（180°-∠3）+∠D，
∴2∠P=180°+∠D+∠B，
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并運(yùn)用好“8字形”的結(jié)論，然后列出兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．