Question

14．如圖①，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點(diǎn)M．
（1）求證：DM=DA；
（2）點(diǎn)G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖②，求證：△DEG∽△ECF；
（3）在圖②中，取CE上一點(diǎn)H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明∠A=∠DMA，用等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論；
（2）由D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根據(jù)等式性質(zhì)得∠FEC=∠GDE，根據(jù)有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可證；
（3）通過(guò)證明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．

解答 （1）證明：如圖1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
（2）證明：如圖2所示，
∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：如圖3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BG}{BD}$，
∴BD²=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH，
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴$\frac{EH}{EF}=\frac{EF}{EC}$，
∴EF²=EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG•BE=EH•EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)，第三小題是難點(diǎn)，運(yùn)用兩對(duì)三角形相似得到比例中項(xiàng)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)等線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．