Question

7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=$\frac{3}{4}$x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，-$\frac{3}{2}$），拋物線y=$\frac{3}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為C（n，$\frac{9}{4}$）．
（1）求n的值和拋物線的解析式；
（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜n）．DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；
（3）M是平面內(nèi)一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A₁O₁B₁，點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的兩個頂點恰好落在拋物線上，請求出點A₁的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點B的坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值，再把點C的坐標(biāo)代入直線求解即可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）令y=0求出點A的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據(jù)矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)角為90°可得B₁O₁∥x軸時，A₁O₁∥y軸時，然后分①點O₁、B₁在拋物線上時，表示出兩點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)縱坐標(biāo)相同列出方程求解即可；②點A₁、B₁在拋物線上時，表示出點B₁的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩點的縱坐標(biāo)相差A(yù)₁O₁的長度列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵直線l：y=$\frac{3}{4}$x+m經(jīng)過點B（0，-$\frac{3}{2}$），
∴m=-$\frac{3}{2}$．
∴直線l的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$．
∵直線l：y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$經(jīng)過點c（n，$\frac{9}{4}$），
∴$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$n-$\frac{3}{2}$，
解得n=5．
∵拋物線y=$\frac{3}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點C（n，$\frac{9}{4}$）和點B（0，-$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{3}{2}}\\{\frac{9}{4}=\frac{3}{4}×{5}^{2}+5b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-3x-$\frac{3}{2}$；
（2）∵直線l：y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$與x軸交于點A，
∴點A的坐標(biāo)為（2，0）．
∴OA=2．
在Rt△OAB中，OB=$\frac{3}{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵DE∥y軸，
∴∠OBA=∠FED．
∵矩形DFEG中，∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AOB=90°．
∴△OAB∽△FDE．
∴$\frac{OA}{FD}$=$\frac{OB}{FE}$=$\frac{AB}{DE}$．
∴FD=$\frac{OA}{AB}$•DE=$\frac{4}{5}$DE，
FE=$\frac{OB}{AB}$•DE=$\frac{3}{5}$DE，
∴p=2（FD+FE）=2×（$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$）DE=$\frac{14}{5}$DE．
∵D（t，$\frac{3}{4}$t²-3t-$\frac{3}{2}$），E（t，$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$），且0＜t＜5，
∴DE=（$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{3}{4}$t²-3t-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t．
∴p=$\frac{14}{5}$×（-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t）=-$\frac{21}{10}$t²+$\frac{21}{2}$t．
∵p=-$\frac{21}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{105}{8}$，且-$\frac{21}{10}$＜0，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時，p有最大值$\frac{105}{8}$；
（3）根據(jù)題意可得O₁B₁與x軸平行，O₁A₁與y軸平行．
1）當(dāng)O₁、B₁在拋物線上時，根據(jù)條件可設(shè)O₁（t，y₁），B₁（t+$\frac{3}{2}$，y₁），
則$\frac{3}{4}$t²-3t-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$（t+$\frac{3}{2}$）²-3（t+$\frac{3}{2}$）-$\frac{3}{2}$，解得t=$\frac{5}{4}$；
2）當(dāng)A₁、B₁在拋物線上時，根據(jù)條件可設(shè)A₁（t，y₁），B₁（t+$\frac{3}{2}$，y₁-2），
則$\frac{3}{4}$t²-3t-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$（t+$\frac{3}{2}$）²-3（t+$\frac{3}{2}$）-$\frac{3}{2}$+2，解得t=$\frac{13}{36}$．
綜上，點A₁的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{4}$或$\frac{13}{36}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，長方形的周長公式，以及二次函數(shù)的最值問題，本題難點在于（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90°判斷出B₁O₁∥x軸時，A₁O₁∥y軸時，注意要分情況討論．