Question

4．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)D，E，與AB分別交于點(diǎn)G，H，且DG的延長(zhǎng)線和CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，分析下列四個(gè)結(jié)論：
①HG=2；②BG=BF；③AH=BG=$\sqrt{2}$-1；④CF=$\sqrt{2}$+1．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 如右圖所示，連接OD、OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠C=90°，∠A=45°，得到四邊形DCEO是正方形，求得OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，于是得到HG=2OD=2；故①正確；求得∠EOB=45°，得到∠ODG=135°，得到∠OGD=∠ODG=22.5°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BG=BF，故②正確；根據(jù)角平分線的判定定理得到O在∠ACB的角平分線上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到O是AB中點(diǎn)，求得AD=CD=OD=OE=1，得到OG=1，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，于是得到AH=BG=$\sqrt{2}$-1，故③正確；CF=2+BF=$\sqrt{2}$+1．故④正確．

解答 解：如右圖所示，連接OD、OE，
∵⊙O與AC、BC切于點(diǎn)D、E，
∴∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，∠A=45°，
∴四邊形DCEO是正方形，
∴OD∥BC，OE=OD，OD⊥AC，
△ADO是等腰直角三角形，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴HG=2OD=2；故①正確；

∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠EOB=45°，
∴∠ODG=135°，
∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=22.5°，
∴∠BGF=22.5°，
∵∠BGF+∠F=∠ABC=45°，
∴∠F=22.5°，
∴BG=BF，故②正確；

∵OE=OD，
∴O在∠ACB的角平分線上，
∴O是AB中點(diǎn)，
∴AD=CD，
又∵AC=2，
∴AD=CD=OD=OE=1，
∴OG=1，
又∵AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴BG=OB-OG=$\sqrt{2}$-1，
同理AH=BG=$\sqrt{2}$-1，故③正確；
∴CF=2+BF=$\sqrt{2}$+1．故④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造正方形DCEO．