Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M為斜邊AB上一動點，過M作MD⊥AC，過M作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 連接CM，先證明四邊形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面積關(guān)系求出CM的最小值，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接CM，如圖所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC=∠MEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形CDME是矩形，
∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
當(dāng)CM⊥AB時，CM最短，此時△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CM的最小值=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴線段DE的最小值為$\frac{12}{5}$；
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形面積的計算方法；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．