Question

3．已知：如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)的最大值為9．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為D，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)（-2，0）和（4，0）可得對(duì)稱軸為x=1，又函數(shù)的最大值為9，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9，所以可設(shè)y=a（x-1）²+9，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（2）過C作CE⊥x軸于E點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得兩個(gè)三角形的面積和一個(gè)梯形的面積，它們的和就是四邊形ABCD的面積．

解答 解：（1）由拋物線的對(duì)稱性知，它的對(duì)稱軸是x=1．
又∵函數(shù)的最大值為9，
∴拋物線的頂點(diǎn)為C（1，9）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+9，代入B（4，0），求得a=-1．
∴二次函數(shù)的解析式是y=-（x-1）²+9，
即y=-x²+2x+8．
（2）過C作CE⊥x軸于E點(diǎn)．
當(dāng)x=0時(shí)，y=8，即拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D（0，8）．
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AOD+S_{四邊形DOEC}+S_△BCE=$\frac{1}{2}$×2×8+$\frac{1}{2}$×（8+9）×1+$\frac{1}{2}$×2×9=25.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法，拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形的面積的求法等，（2）利用分割法求四邊形的面積是本題的關(guān)鍵．