Question

5．在平面直角坐標系中，拋物線y₁=ax²+3x+c經(jīng)過原點及點A（1，2），與x軸相交于另一點B．
（1）求拋物線y₁的解析式及B點坐標；
（2）若將拋物線y₁以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一條新的拋物線y₂，已知拋物線y₂與x軸交于兩點，其中右邊的交點為C點．動點P從O點出發(fā)，沿線段OC向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線OA于D點，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF．
①當點E落在拋物線y₁上時，求OP的長；
②若點P的運動速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一點Q從C點出發(fā)向O點運動，速度為每秒2個單位長度，當Q點到達O點時P、Q兩點停止運動．過Q點作x軸的垂線，與直線AC交于G點，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN．當這兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上時，求t的值．（正方形在x軸上的邊除外）

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A（1，2），分別代入求出a，c的值，即可求得解析式，然后令y=0，解方程即可求得B的坐標；
（2）①過A點作AH⊥x軸于H點，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；
②分別利用當點F、點N重合時，當點F、點Q重合時，當點P、點N重合時，當點P、點Q重合時，求出t的值即可．

解答 解：（1）∵拋物線y₁=ax²+3x+c經(jīng)過原點及點A（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a+3+c=2\end{array}$    解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=0\end{array}$
∴拋物線y₁的解析式為y₁=-x²+3x，
令y₁=0，得-x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=3，
∴B（3，0）；

（2）①由題意，可得C（6，0），
如圖一，過A作AH⊥x軸于H，設(shè)OP=a，
∵DP∥AH，
∴△ODP∽△OAH，
∴$\frac{DP}{OP}$=$\frac{AH}{OH}$=2，
∴DP=2OP=2a，
∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在拋物線y₁=-x²+3x上，
∴2a=-9a²+9a，解得a₁=0（舍去），a₂=$\frac{7}{9}$，
∴OP的長為$\frac{7}{9}$，
②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}2=k+b\\ 0=6k+b\end{array}$    解得k=-$\frac{2}{5}$，b=$\frac{12}{5}$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{12}{5}$，
由題意，OP=t，PF=2t，QC=2t，GQ=$\frac{4}{5}$t；
如圖1，當EF與MN重合時，則OF+CN=6，

∴3t+2t+$\frac{4}{5}$t=6，
∴t=$\frac{30}{29}$；
如圖2，當EF與GQ重合時，則OF+QC=6，

∴3t+2t=6，
∴t=$\frac{6}{5}$；
如圖3，當DP與MN重合時，則OP+CN=6，

∴t+2t+$\frac{4}{5}$t=6，
∴t=$\frac{30}{19}$；
如圖4，當DP與GQ重合時，則OP+CQ=6，

∴t+2t=6，
∴t=2．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)已知結(jié)合圖象分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．