Question

10．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象回答：
①當(dāng)x取什么值時(shí)，y＞0？②當(dāng)x取什么值時(shí)，y的值隨x的增大而減��？
（4）在這條拋物線上是否存在點(diǎn)P使以A、C、P為頂點(diǎn)的等腰三角形？若存在請寫出符合條件的P點(diǎn)有多少個(gè)并寫出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)拋物線上點(diǎn)的函數(shù)值為零時(shí)的點(diǎn)在x軸上，可得答案；
（3）①根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系，可得答案；
②根據(jù)y=ax²+bx+c，a＜0時(shí)，對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，可得答案；
（4）根據(jù)等腰三角形的定義，可得PA=PC，AC=AP，AC=CP，根據(jù)線段的垂直平分線，可得PD的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三點(diǎn)的解析式為：y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{a×{4}^{2}+4b+c=0}\\{a×{1}^{2}+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為：y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2$．
（2）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0），
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），（1，0）．
（3）①根據(jù)圖象可知當(dāng)函數(shù)圖象在B和A之間時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上方．
∵點(diǎn)A（4，0）、B（1，0），
∴1＜x＜4時(shí)，y＞0．
②由函數(shù)圖象可知在對稱軸的右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而減小．
∵y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2$的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x=$-\frac{\frac{5}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}=\frac{5}{2}$，
∴x＞$\frac{5}{2}$時(shí)，y隨x的增大而減�。�
（4）在這條拋物線上存在點(diǎn)P使以A、C、P為頂點(diǎn)的等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，其中一個(gè)的坐標(biāo)為P₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，-6-$\sqrt{41}$）．
如下圖一、二、三、四所示：
，
當(dāng)AP=PC時(shí)，AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，AC的中點(diǎn)D（2，-1），
PD⊥AC于D，設(shè)PD的解析式為y=-2x+b，
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-4+b=1，解得b=3，
PD的解析式為y=-2x+3，
聯(lián)立PD與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=-6-\sqrt{41}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\sqrt{41}-6}\end{array}\right.$，
P₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，-6-$\sqrt{41}$），P₂（$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-6）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用函數(shù)值為零是拋物線與x軸的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵，利用了函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)：a＜0時(shí)，對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減��；等腰三角形的判定，聯(lián)立PD與拋物線得出方程組是解題關(guān)鍵．