Question

4．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在BC上，若線段AD平分△ABC的面積，請畫出線段AD，并計算AD=4．
（2）如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形（AB＜BC），請你畫一條直線l，使其平分?ABCD的面積，且直線l在?ABCD內(nèi)部的線段最短，并說明理由．
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，是否存在過點A的一條直線將四邊形ABCD的面積平分？如果存在，請畫出符合條件的直線，并說明你的做法和理由，如果不存在，也請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作中線AD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理求AD的長；
（2）經(jīng)過平行四邊形對角線中點的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，當MN⊥BC時，最短；
（3）取CD 的中點M，連接AM并延長交BC的延長線于N，取BN的中點E，則A，E的直線將四邊形ABCD的面積平分，得到△ADM≌△CMN，于是得到S_{四邊形AECD}=S_△AEN，等量代換得到結論．

解答 解：（1）如圖①，作中線AD，則AD平分△ABC的面積，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=AB=5，
∴AD⊥BC，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
故答案為：4；

（2）連接AC、BD，交于O，
過O作直線MN，交AD于M，交BC于N，當MN⊥BC時，MN是最短，如圖②，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴S_△AOM=S_△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S_△OMD=S_△ONB，S_△AOB=S_△COD，
∴S_△AOM+S_△AOB+S_△BON=S_△CON+S_△COD+S_△OMD，
即MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；

（3）取CD 的中點M，連接AM并延長交BC的延長線于N，
取BN的中點E，則A，E的直線將四邊形ABCD的面積平分，
理由：∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠N，
在△ADM與△NCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠N}\\{∠AMD=∠CMN}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CMN，
∴S_{四邊形AECD}=S_△AEN，
∵E是BN的中點，
∴S_△ABE=S_△AEN，
∴S_{四邊形AECD}=S_△ABE．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、等腰三角形、梯形的性質(zhì)，明確三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，過平行四邊形對角線中點的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分．