Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m+1）x+2=0．
（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值；
（3）若此方程的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂，求代數(shù)式m（x₁⁵+x₂⁵）-（2m+1）（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）+5的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式△=[-（2m+1）]²-4m•2=（2m-1）²即可知；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理知x₁+x₂=$\frac{2m+1}{m}$=2+$\frac{1}{m}$，x₁•x₂=$\frac{2}{m}$，由方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)可得答案；
（3）根據(jù)方程的解得定義得mx₁²-（2m+1）x₁+2=0、mx₂²-（2m+1）x₂+2=0，繼而知mx₁⁵-（2m+1）x₁⁴+2x₁³=0，mx₂⁵-（2m+1）x₂⁴+2x₂³=0，兩式相加可得．

解答 解：（1）∵△=[-（2m+1）]²-4m•2=（2m-1）²，
∴不論m為何值，（2m-1）²≥0，
∴此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂=$\frac{2m+1}{m}$=2+$\frac{1}{m}$，x₁•x₂=$\frac{2}{m}$，
∵此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，
∴m的整數(shù)值為±1；

（3）∵x₁、x₂是方程mx²-（2m+1）x+2=0的兩個實數(shù)根，
∴mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0，
則mx₁⁵-（2m+1）x₁⁴+2x₁³=0，mx₂⁵-（2m+1）x₂⁴+2x₂³=0，
以上兩式相加可得m（x₁⁵+x₂⁵）-（2m+1）（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）=0，
∴m（x₁⁵+x₂⁵）-（2m+1）（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）+5=5．

點評 本題考查了根的判別式、方程的解得定義、根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．