Question

15．如圖所示，梯形ABCD中，已知：AD∥BC，∠ABC=∠DCB，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，且∠CDE=∠ABD．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若△ADF的面積是2cm²，且BC=3AD，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)梯形的性質(zhì)和已知證明四邊形ABCD為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)證明△ABD≌△DCA，得到∠ABD=∠DCA，根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出$\frac{DF}{BF}$、$\frac{AF}{CF}$的值，根據(jù)三角形的面積公式和相似三角形的性質(zhì)求出梯形ABCD的面積．

解答 解：∵AD∥BC，∠ABC=∠DCB，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，AC=BD，
在△ABD和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AC=DB}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ABD=∠DCA，又∠CDE=∠ABD，
∴∠DCA=∠CDE，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CBF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵△ADF的面積是2cm²，
∴△ABF的面積是6cm²，△DCF的面積是6cm²，△BCF的面積是18cm²，
∴梯形ABCD的面積為2+6+6+18=32cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是梯形的性質(zhì)、等腰梯形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和相似三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．