Question

4．問題1：在圖1中，已知線段AB，CD，它們的中點分別為E，F(xiàn)．
①若A（-1，0），B（3，0），則E點坐標(biāo)為（1，0）；
②若C（-2，2），D（-2，-1），則F點坐標(biāo)為（-2，$\frac{1}{2}$）；
問題2：在圖2中，無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個位置，當(dāng)其端點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y）時，請直接寫出點D的坐標(biāo)為（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$ ）（用含a，b，c，d的式子表示）
問題3：在圖3中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象交點為A，B，若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出頂點P的坐標(biāo)（2，-2），（4，4），（4，-4）．

Answer 1

分析 （1）①、②直接根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論；
（2）過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，則AA′∥BB′∥CC′，根據(jù)平行線分線段定理可知A′D′=D′B′，由中點坐標(biāo)公式即可得出x，y的值；
（3）聯(lián)立直線和反比例函數(shù)解析式可求出A、B兩點的坐標(biāo)，再分以AB為對角線、以O(shè)A為對角線和以O(shè)B為對角線三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)可分別求得滿足條件的P點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）①設(shè)E（x，y），
∵A（-1，0），B（3，0），點E是線段AB的中點，
∴x=$\frac{3-1}{2}$=1，y=$\frac{0+0}{2}$=0，
∴E（1，0）．
故答案為（1，0）；
②設(shè)F（x，y），
∵C（-2，2），D（-2，-1），點F是線段CD的中點，
∴x=$\frac{-2-2}{2}$=-2，y=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴F（-2，$\frac{1}{2}$）．
故答案為（-2，$\frac{1}{2}$）；
（2）如圖1，過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，則AA′∥BB′∥CC′．
∵點D為AB的中點，
∴A′D′=D′B′，
∴OD′=a+$\frac{c-a}{2}$=$\frac{a+c}{2}$，即點D的橫坐標(biāo)是$\frac{a+c}{2}$．
同理可得，D點的縱坐標(biāo)是$\frac{b+d}{2}$，
∴AB的中點坐標(biāo)為（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$）．
故答案為：$\frac{a+c}{2}$；$\frac{b+d}{2}$；
（3）∵由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A（-1，-3），B（3，1）．
如圖2，當(dāng)以AB為對角線時，AB的中點坐標(biāo)M為（1，-1），
∵平行四邊形的對角線互相平分，
∴M為OP中點，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），
則$\frac{x+0}{2}$=1，$\frac{y+0}{2}$=-1，
解得x=2，y=-2，
∴P（2，-2）．
如圖3，當(dāng)OB為對角線時，
由O、B坐標(biāo)可求得OB的中點坐標(biāo)M（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)可知M為AP的中點，
結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得$\frac{x-1}{2}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{y-3}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=4，y=4，
∴P（4，4）；
當(dāng)以O(shè)A為對角線時，
由O、A坐標(biāo)可求得OA的中點坐標(biāo)M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)可知M為BP中點，
結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得$\frac{x+3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{y+1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，解得x=-4，y=-4，
∴P（-4，-4）．
綜上所述，P點的坐標(biāo)為（2，-2），（4，4），（-4，-4）．
故答案為：（2，-2）；（4，4）；（4，-4）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式是解答此題的關(guān)鍵．