Question

16．如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，點P從點B出發(fā)，沿B-A-D-A運動．已知沿B-A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A-D-A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點 B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．若P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．連結(jié)PQ．
（1）當點P沿A-D-A運動時，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結(jié)BR，如圖②．在點P沿B-A-D運動過程中，是否存在線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分的情況？若存在，求出所有t的值；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，在點P沿B-A-D運動過程中，當C′D′∥BC時，求t的值（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）分情況討論，當點P沿A-D運動時，當點P沿D-A運動時分別可以表示出AP的值；
（2）分情況討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜$\frac{8}{3}$時，當$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{29}{4}$時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可；
（3）分情況討論當P在A-D之間或D-A之間時，如圖⑥，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據(jù)其性質(zhì)建立方程求出其解，當P在D-A之間如圖⑦，根據(jù)菱形的性質(zhì)建立方程求出其解即可．

解答 解：（1）當點P沿A-D運動時，AP=8（t-1）=8t-8，
當點P沿D-A運動時，AP=50×2-8（t-1）=108-8t；

（2）當點P與點R重合時，
AP=BQ，8t-8=5t，t=$\frac{8}{3}$．
當0＜t≤1時，如圖③．
∵S_△BPM=S_△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBM=QRM}\\{∠BPM=∠MQR}\\{PM=QM}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△RQM（AAS）．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
當1＜t≤$\frac{8}{3}$時，如圖④．
∵BR平分陰影部分面積，
∴P與點R重合．
∴t=$\frac{8}{3}$．
當$\frac{8}{3}$＜t≤$\frac{29}{4}$時，如圖⑤．
∵S_△ABR=S_△QBR，
∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}．
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．
綜上所述，當t=1或$\frac{8}{3}$時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分．

（3）如圖⑥，點P沿B-A-D運動過程中，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，
∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
解得：t=7或t=$\frac{95}{13}$（不合題意，舍去）．
點P沿B-A-D運動過程中，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖⑦．
同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD=PD，
∴50-5t+13=8（t-1）-50，
解得：t=$\frac{121}{13}$（不合題意，舍去）．
∴當t=7時，點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運用，菱形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，分類討論的數(shù)學(xué)思想的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答時靈活運用動點問題的解答方法確定分界點是解答本題的關(guān)鍵和難點．