Question

6．如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對(duì)角線AC平分，且AC²=AB•AD，我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．
（1）如圖2，若四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且∠DCB=∠DAB，則∠DAB=120°．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求證：四邊形ABCD為“可分四邊形”；
（3）現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）由已知條件可證得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知條件和三角形內(nèi)角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度數(shù)；
（2）由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，證明△ADC∽△ACB．得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出AC²=AB•AD，即可得出結(jié)論；
（3）由已知得出AC²=AB•AD，∠DAC=∠CAB，證出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的長(zhǎng)．

解答 （1）解：如圖所示：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵AC²=AB•AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D=∠4，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，
∵∠1+∠D+∠4=180°，
∴∠1+2∠1=180°，
解得：∠1=60°，
∴∠DAB=120°；
故答案為：120；
（2）證明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠D+∠ACD=180°-30°=150°，
∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，
∴∠D=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB．
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD，
∴四邊形ABCD為“可分四邊形”；
（3）解：∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，
∴AC²=AB•AD，∠DAC=∠CAB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{{4}^{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、新定義四邊形等知識(shí)；熟練掌握新定義四邊形，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，