Question

12．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF，AD的延長線相交于G，下面結論：①DB=$\sqrt{2}$BE，②△BHE∽△BCF，③AB=BH，④△BHD∽△BDG，其中正確的結論是（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由題意可知△BDE是等腰直角三角形，故此可得到BD=$\sqrt{2}$BE，②由∠HBE=∠CBF，∠HEB=∠CFB證明即可；③先證明△BHE≌△DEC，從而得到BH=DC，然后由平行四邊形的性質可知AB=BH；④由∠BDH≠∠G可知△BHD與△BDG不相似．

解答 解：①∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴BD=$\sqrt{2}$BE，故①正確；
②∵∠HBE=∠CBF，∠HEB=∠CFB，
∴△BHE∽△BCF，故②正確．
③∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DBC=∠BDE=45°．
∴DE=BE．

由②可知：△BHE∽△BCF，
∴∠BHE=∠DCE．
在△BHE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠DCE}\\{∠BEH=∠DEC}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△DCE．
∴BH=DC．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC．
∴AB=BH，故③正確．
④在△BHD和△BDG中，∠DBH=∠DBG，但是兩銳角：∠BDH≠∠G，故△BHD與△BDG不相似，故④錯誤．
故選：B．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定、特殊銳角三角函數(shù)值，平行四邊形的性質，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．