Question

14．如圖，邊長為1的菱形形ABCD中，∠DAB=60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC=60°，連接AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH，使∠HAE=60°…，按此規(guī)律推測，所作的第2015個菱形的邊長是$（\sqrt{3}）^{2014}$．

Answer 1

分析 連接DB于AC相交于M，根據(jù)已知和菱形的性質可分別求得AC，AE，AG的長，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第2015$\frac{1}{2}$個菱形的邊長．

解答 解：連接DB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AE=$\sqrt{3}$AC=$（\sqrt{3}）^{2}$，AG=$\sqrt{3}$AE=3$\sqrt{3}$=$（\sqrt{3}）^{3}$，
按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為$（\sqrt{3}）^{n-1}$，
則所作的第2015個菱形的邊長是$（\sqrt{3}）^{2015-1}=（\sqrt{3}）^{2014}$．
故答案為：$（\sqrt{3}）^{2014}$．

點評 此題主要考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質以及學生探索規(guī)律的能力，解決本題的關鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．