Question

19．如圖，已知在等腰△ABC中，∠C=120°
（1）尺規(guī)作圖：①過點C作CD⊥AC交AB于點D．
②過A，D，C三點作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；
（2）求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線．

Answer 1

分析 （1）利用過直線上一點作直線的垂線確定D點，再作AD的垂直平分線確定AD的中點O，然后以點O為圓心，OA為半徑作⊙O即可；
（2）連結OC，根據圓周角定理，由∠ACD=90°可判斷AD是⊙O的直徑，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和求出∠A=∠B=30°，接著由OA=OC得∠ACO=∠A=30°，所以∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，根據切線的判定定理得到BC是⊙O的切線．

解答 （1）解：如圖；
（2）證明：連結OC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直徑，
∵CA=CB，∠C=120°
∵∠A=∠B=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切線．

點評 本題考查了復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質和切線的判定定理．