Question

10．已知O為直線MN上一點，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點，DE⊥DC交MN于E．

（1）如圖1，若點B在OP上，則
①AC=OE（填“＜”，“=”或“＞”）；
②線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式是AC²+CO²=CD²；
（2）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜45°），如圖2，那么（1）中的結(jié)論②是否成立？請說明理由；
（3）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式CO-CA=$\sqrt{2}$CD．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，證明AC=OC和OC=OE可得結(jié)論；
②根據(jù)勾股定理可得：AC²+CO²=CD²；
（2）如圖2，（1）中的結(jié)論②不成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明A、D、O、C四點共圓，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再證明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根據(jù)勾股定理得：AC²+OC²=FO²+OE²=EF²，由直角三角形中最長邊為斜邊可得結(jié)論；
（3）如圖3，連接AD，則AD=OD證明△ACD≌△OED，根據(jù)△CDE是等腰直角三角形，得CE²=2CD²，等量代換可得結(jié)論（OC-OE）²=（OC-AC）²=2CD²，開方后是：OC-AC=$\sqrt{2}$CD．

解答 解：（1）①AC=OE，
理由：如圖1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠AOB=45°，
∵OP⊥MN，
∴∠COP=90°，
∴∠AOC=45°，
∵AC∥OP，
∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，
∴AC=OC，
連接AD，
∵BD=OD，
∴AD=OD，AD⊥OB，
∴AD∥OC，
∴四邊形ADOC是正方形，
∴∠DCO=45°，
∴AC=OD，
∴∠DEO=45°，
∴CD=DE，
∴OC=OE，
∴AC=OE；
②在Rt△CDO中，
∵CD²=OC²+OD²，
∴CD²=AC²+OC²；
故答案為：AC²+CO²=CD²；
（2）如圖2，（1）中的結(jié)論②不成立，理由是：
連接AD，延長CD交OP于F，連接EF，
∵AB=AO，D為OB的中點，
∴AD⊥OB，
∴∠ADO=90°，
∵∠CDE=90°，
∴∠ADO=∠CDE，
∴∠ADO-∠CDO=∠CDE-∠CDO，
即∠ADC=∠EDO，
∵∠ADO=∠ACO=90°，
∴∠ADO+∠ACO=180°，
∴A、D、O、C四點共圓，
∴∠ACD=∠AOB，
同理得：∠EFO=∠EDO，
∴∠EFO=∠AOC，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠DCO=45°，
∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，
∴OC=OF，
∵∠ACO=∠EOF=90°，
∴△ACO≌△EOF，
∴OE=AC，AO=EF，
∴AC²+OC²=FO²+OE²=EF²，
Rt△DEF中，EF＞DE=DC，
∴AC²+OC²＞DC²，
所以（1）中的結(jié)論②不成立；
（3）如圖3，結(jié)論：OC-CA=$\sqrt{2}$CD，
理由是：連接AD，則AD=OD，
同理：∠ADC=∠EDO，
∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠CAB=∠AOC，
∵∠DAB=∠AOD=45°，
∴∠DAB-∠CAB=∠AOD-∠AOC，
即∠DAC=∠DOE，
∴△ACD≌△OED，
∴AC=OE，CD=DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE²=2CD²，
∴（OC-OE）²=（OC-AC）²=2CD²，
∴OC-AC=$\sqrt{2}$CD，
故答案為：OC-AC=$\sqrt{2}$CD．

點評 本題是幾何變換的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、四點共圓的性質(zhì)等知識，并運用了類比的思想解決問題，有難度，尤其是第二問，結(jié)論不成立，要注意輔助線的作法；本題的2、3問能標準作圖是關(guān)鍵．