Question

3．如圖，△ABC，AB=18，sinA=$\frac{1}{6}$，sinC=$\frac{1}{3}$，
（1）此三角形繞著AC旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)你描述所得的幾何體，并求出上述幾何體的表面積；
（2）一只螞蟻要從B點(diǎn)出發(fā)繞上述幾何體爬一圈回到原地，求螞蟻爬過(guò)的最短路線長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算兩個(gè)圓錐的側(cè)面積后相加即可得到結(jié)果．
（2）首先求得展開(kāi)扇形的圓心角的度數(shù)，然后分兩種情況得到兩種結(jié)果即可比較出最短線路的長(zhǎng)．

解答 解：（1）是一個(gè)分別以AB和BC為母線，且兩個(gè)底面重合的圓錐組合在一起的幾何體
過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AC于點(diǎn)D，
∵AB=18，sinA=$\frac{1}{6}$，sinC=$\frac{1}{3}$，
∴BD=3，
∴BC=9，
∴S=π×3×18+π×3×9=81π；

（2）∵S1=$\frac{{n}_{1}{πR}_{1}^{2}}{360}$，
∴n₁=$\frac{360{S}_{1}}{{πR}_{1}^{2}}$=$\frac{360×27π}{π×{9}^{2}}$=120°，
連接BB′，過(guò)點(diǎn)C作BB′的垂線，垂足為E，
則由垂徑定理可知BE=B′E，
∴BB′=2BE=2BC×sin60°=2×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
如左邊，同理可得另一最短路線為18．
∵9$\sqrt{3}$＜9×$\sqrt{4}$=9×2=18，
∴螞蟻爬過(guò)的最短路線長(zhǎng)為9$\sqrt{3}$
∵18＞$9\sqrt{3}$
∴d=$9\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是解答此題的關(guān)鍵．