Question

18．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過點A的直線作垂線，垂足分別為點E、F．
（1）如圖（1），過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：①△ABE≌△CAF； ②EF=BE+CF    
（2）如圖（2），過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，試求EF的長．

Answer 1

分析 （1）①由條件可求得∠EBA=FAC，利用AAS可證明△ABE≌△CAF；②利用全等三角形的性質(zhì)可得EA=FC，EB=FA，利用線段的和差可證得結(jié)論；
（2）同（1）可證明△ABE≌△CAF，可證得EF=FA-EA，代入可求得EF的長．

解答 （1）證明：
①∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠FAC=90°，
∴∠EBA=∠FAC，
在△AEB與△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFA}\\{∠EBA=∠FAC}\\{AB=CA}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
②∵△ABE≌△CAF，
∴EA=FC，EB=FA，
∴EF=AF+AE
=BE+CF；
（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∴∠EAB+∠EBA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EAB+∠FAC=90°
∴∠EBA=∠FAC，
在△AEB與△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFA}\\{∠EBA=∠FAC}\\{AB=CA}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴EA=FC，EB=FA，
∴EF=FA-EA=EB-FC=10-3=7．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．