Question

13．如圖，點(diǎn)H，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊AD，BC上，點(diǎn)E，G分別在BA，DC的延長線上．且AE=AH=CG=CF．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）寫出△AEH和四邊形EFGH的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明△DHG≌△BFE，推出HG=EF，∠DHG=∠BFE，由BC∥AD，推出∠BFE=∠DKF，推出∠DHG=∠DKG，推出HG∥EF，即可證明．
（2）如圖2中，結(jié)論：S_△AEH=S_△EHO=$\frac{1}{4}$S_{四邊形EFGH}．首先證明HF、AC、EG互相平分，相交于點(diǎn)O，再證明EH∥AC即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，設(shè)EF交AD于K．

∵四邊形ABCD是菱形，
∠D=∠B，AB=CD=AD=BC，
∵AE=AH=CG=CF，
∴DH=BF，BE=DG，
在△DHG和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=BF}\\{∠D=∠B}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG=EF，∠DHG=∠BFE，
∵BC∥AD，
∴∠BFE=∠DKF，
∴∠DHG=∠DKG，
∴HG∥EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）解：結(jié)論：S_△AEH=S_△EHO=$\frac{1}{4}$S_{四邊形EFGH}．理由如下：
連接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，連接EG．

∵AH=CF，AH∥CF，
∴四邊形AHCF是平行四邊形，
∴AC與HF互相平分，
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴HF與EG互相平分，
∴HF、AC、EG互相平分，相交于點(diǎn)O，
∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，
∴∠EAH=∠D，
∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，
∴EH∥AC，
∴S_△AEH=S_△EHO=$\frac{1}{4}$S_{四邊形EFGH}．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)．平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，第二個問題的關(guān)鍵是證明EH∥AC，屬于中考�？碱}型．