Question

3．兩個全等的△ABC和△EDA如圖放置（∠ABC=∠EDA＜90°，BC=DA），點B、A、D在同一條直線上，作∠ABC的平分線BF，過點D作DF⊥BF于點F，連接CE，則BF⊥CE，BF=$\frac{1}{2}$CE成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 結(jié)論：BF⊥CE成立，BF=$\frac{1}{2}$CE不成立．只要證明四邊形DECH是平行四邊形即可解決問題．當(dāng)△BFD是等腰直角三角形時，BF=$\frac{1}{2}$DH，即BF=$\frac{1}{2}$CE，顯然題目不滿足條件．

解答 解：結(jié)論：BF⊥CE成立，BF=$\frac{1}{2}$CE不成立．理由如下：
如圖延長BC交DF的延長線于H．
∵∠BAC=∠EDA，
∴BH∥DE，
∵△ABC≌△EDA，
∴BC=AD，AB=DE，
在△BFH和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBH=∠FBD}\\{∠BFH=∠BFD}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFH≌△BFD，
∴BH=BD，
∴BA+AD=BC+CH，
∵BC=AD，
∴AB=CH=DE，
∴四邊形DECH是平行四邊形，
∵BF⊥DH，
∴BF⊥CE．
∵△BFH≌△BFD，
∴FH=FD，
∴BF是△BDH的中線，
∴當(dāng)∠HBD=90°時，BF=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$CE，
顯然題目不滿足這個條件，
故BF=$\frac{1}{2}$CE不成立．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．