Question

20．已知關(guān)于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y₁和y₂
（1）當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，確定k的值；
（2）當(dāng)k時(shí)整數(shù)且k＞2時(shí)，用含有m的代數(shù)式表示S=4y₁⁴+6y₂³+2my₁²（不含有y₁和y₂），并求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的解為x₁=$\frac{6}{2k}$-1，x₂=-1，根據(jù)此方程只有整數(shù)根，于是得到k=±1或±3；
（2）由當(dāng)k為整數(shù)且k＞2時(shí)，求得k=3，得到關(guān)于y的一元二次方程為2y²-3y+m=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)₁+y₂=$\frac{3}{2}$，y₁•y₂=$\frac{m}{2}$，根據(jù)方程的解的定義得到2y₁²-3y₁+m=0，2y₂²-3y₂+m=0代入S=4y₁⁴+6y₂³+2my₁²=（3y₁-m）²+3（3y₂²-my₂）+m（3y₁-m）化簡(jiǎn)得到S=-$\frac{27}{2}$m+$\frac{81}{4}$，根據(jù)△=9-4×2m＞0，求得m＜$\frac{9}{8}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的解為：
x=$\frac{（3-2k）±\sqrt{（2k-3）^{2}-4k（k-3）}}{2k}$，
∴x₁=$\frac{6}{2k}$-1，x₂=-1，
∵此方程只有整數(shù)根，
∴k=±1或±3；

（2）∵當(dāng)k為整數(shù)且k＞2時(shí)，
∴k=3，
∴關(guān)于y的一元二次方程為2y²-3y+m=0，
∵此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根y₁和y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{3}{2}$，y₁•y₂=$\frac{m}{2}$，2y₁²-3y₁+m=0，2y₂²-3y₂+m=0，
∴2y₁²=-3y₁-m，2y₂²=3y₂-m，
∴2y₂³=3y₂²-my₂，
∴S=4y₁⁴+6y₂³+2my₁²=（3y₁-m）²+3（3y₂²-my₂）+m（3y₁-m）
=9（y₁²+y₂²）-3m（y₁+y₂），
∵y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=$\frac{9}{4}$-m，
∴S=9（$\frac{9}{4}$-m）-3m•$\frac{3}{2}$=$\frac{81}{4}$-9m-$\frac{9}{2}$m=-$\frac{27}{2}$m+$\frac{81}{4}$∵△=9-4×2m＞0，
∴m＜$\frac{9}{8}$，
∴S=$-\frac{27}{2}$M+$\frac{81}{4}$＜$\frac{81}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．