Question

16．已知：⊙O為Rt△ABC的外接圓，點D在邊AC上，AD=AO；
（1）如圖1，若弦BE∥OD，求證：OD=BE；
（2）如圖2，點F在邊BC上，BF=BO，若OD=2$\sqrt{2}$，OF=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接AE交OD于點F，由AB為直徑，利用直角所對的圓周角為直角得到AE與BE垂直，再由BE與OD平行，得到AE垂直于OD，再由AD=AO，利用三線合一得到AE為角平分線，且F為OD中點，利用中位線定理得到BE=2OF，等量代換即可得證；
（2）分別作弦BE∥OD，AH∥OF，連接AE，BH，AE與BH交于點P，由（1）得到E與H分別為弧BC與弧AC的中點，進而確定出∠HAE=∠HBE=45°，根據AB為直徑，得到所對的圓周角為直角，確定出三角形APH與三角形BEP都為等腰直角三角形，由AP+PE求出AE的長，在直角三角形AEB中，利用勾股定理求出AB的長，即為圓的直徑．

解答 （1）證明：連接AE交OD于點F，
∵AB為直徑，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）分別作弦BE∥OD，AH∥OF，連接AE，BH，AE與BH交于點P，
由（1）得：E為$\widehat{BC}$的中點，同理H為$\widehat{AC}$的中點，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB為直徑，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP=$\sqrt{2}$AH，PE=BE，
∵點O為AB的中點，BE∥OD，
∴EB=OD=2$\sqrt{2}$，
∴PE=BE=2$\sqrt{2}$，
同理AH=OF=3，
∴AP=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，AE=5$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，
根據勾股定理得：AB=$\sqrt{58}$，
則圓的直徑為$\sqrt{58}$．

點評 此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，三線合一性質，勾股定理，以及平行線的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．