Question

12．綜合與探究：如圖，拋物線y=ax²+bx+$\frac{12}{5}$與x軸交于A（-$\frac{9}{5}$，0），B（$\frac{16}{5}$，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△BPQ能否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接PD，QD．當(dāng)四邊形APQC的面積最小時(shí)，判斷點(diǎn)D是否在該拋物線上．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+$\frac{9}{5}$）（x-$\frac{16}{5}$），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值即可；
（2）分為PB=QB、PQ=QB、PQ=PB三種情況進(jìn)行解答即可；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB，垂足為D．先用含t的式子表示出PB、QD的長(zhǎng)，然后依據(jù)四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積列出四邊形的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)四邊形的面積最小，然后再說(shuō)明四邊形DPBQ為菱形，然后可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后可判斷出點(diǎn)D是否在拋物線上．

解答 解：（1）將x=0代入拋物線的解析式得：y=$\frac{12}{5}$，
∴C（0，$\frac{12}{5}$）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+$\frac{9}{5}$）（x-$\frac{16}{5}$）．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-$\frac{144}{25}$a=$\frac{12}{5}$，解得：a=-$\frac{12}{5}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{7}{12}$x+$\frac{12}{5}$．

（2）當(dāng)PB=QB時(shí)．
∵PB=AB-AP=5-t，QB=t，
∴5-t=t，解得t=$\frac{5}{2}$．
如圖1當(dāng)PQ=QB時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥PB．

∵PQ=QB，QD⊥PB，
∴PD=BD．
∴BD=$\frac{1}{2}$PB．
∴$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{2}$（5-t），解得：t=$\frac{25}{13}$．
如圖2所示：當(dāng)PQ=PB時(shí)，作PD⊥QB，垂足為D．

∵PQ=PB，PD⊥QB，
∴QD=BD．
∴DB=$\frac{1}{2}$QB．
∴$\frac{1}{2}$t=$\frac{4}{5}$（5-t），解得t=$\frac{40}{13}$．
綜上所述，當(dāng)t的值$\frac{5}{2}$或$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{13}$時(shí)，△PBQ為等腰三角形．

（3）點(diǎn) D 不在拋物線上．
理由：如圖3所示：過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB，垂足為D．

∵QD=$\frac{3}{5}$QB=$\frac{3}{5}t$，PB=5-t，
∴△PBQ的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t（5-t）=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t．
∵AB=5，OC=$\frac{12}{5}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6．
∴四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積=6-（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t）=$\frac{3}{10}$t²-$\frac{3}{2}$t+6．
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，四邊形APQC的面積有最小值．
∵BD=$\frac{3}{5}$BQ=$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{4}{5}$QB=2，
∴點(diǎn)Q（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{2}$）．
∵當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，PB=QB，
∴四邊形DPBQ為菱形，
∴D（-$\frac{13}{10}$，$\frac{3}{2}$）．
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)不符拋物線的解析式，
∴點(diǎn)D不在拋物線上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，證得四邊形DPBQ為菱形，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．