Question

2．如圖所示，BD是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，AD是一條非直徑的弦，過點B作BC⊥AB，BC與AD的延長線相交于點C，
（1）若BE=$\frac{1}{2}$AE，求∠EAD的度數(shù)；
（2）求證：AC•AD=AB•AE；
（3）在（1）條件下，當(dāng)BC=2時，求四邊形BCDE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BDO=90°，據(jù)已知條件得到OD=$\frac{1}{2}$OB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BOD=60°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接DE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=2$\sqrt{3}$，由于BE=$\frac{1}{2}$AE，得到AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OD，
∵BD是⊙O的切線，
∴∠BDO=90°，
∵BE=$\frac{1}{2}$AE，AE是⊙O的直徑，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A+∠ADO=60°，
∴∠EAD=30°；

（2）連接DE，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠ADE=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
∴AC•AD=AB•AE；

（3）∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=2，
∴四邊形BCDE的面積=S_△ABC-S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，含30°的角的直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．