Question

如圖，已知P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△ABP經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CBQ的位置．
（1）請(qǐng)說出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角度；
（2）若連接PQ，試判斷△PBQ的形狀；
（3）若∠BPA=135°，試說明點(diǎn)A，P，Q三點(diǎn)在同一直線上；
（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=

2

，求正方形的對(duì)角線長；
（5）在（4）的條件下，求線段AP在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）先利用正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BQ=BP，∠QBP=90°，可判斷△PBQ為等腰直角三角形；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BPQ=∠BQP=45°，而∠BPA=135°，則∠BPA+∠BPQ=180°，由此可判斷點(diǎn)A，P，Q三點(diǎn)在同一直線上；
（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BQC=∠BPQ=135°，CQ=AP=3，而∠BQP=45°，所以∠AQC=∠BQC-∠BQP=90°，再利用△PBQ為等腰直角三角形得到PQ=

2

BP=2，則AQ=AP+PQ=5，在Rt△AQC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=

34

；
（5）由AC=

34

，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=

17

，然后利用線段AP在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積=S_扇形BAC-S_扇形BPQ和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABP旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CBQ的位置，其旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)B，旋轉(zhuǎn)角為90°；
（2）如圖，
∵△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)△CBQ的位置，
∴BQ=BP，∠QBP=90°，
∴△PBQ為等腰直角三角形；
（3）∵△PBQ為等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°，
而∠BPA=135°，
∴∠BPA+∠BPQ=135°+45°=180°，
∴點(diǎn)A，P，Q三點(diǎn)在同一直線上；
（4）∵△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)△CBQ的位置，
∴∠BQC=∠BPQ=135°，CQ=AP=3，
而∠BQP=45°，
∴∠AQC=∠BQC-∠BQP=90°，
∵△PBQ為等腰直角三角形，
∴PQ=

2

BP=

2

×

2

=2，
∴AQ=AP+PQ=3+2=5，
在Rt△AQC中，AC=

AQ2+CQ2

=

34

；
（5）∵AC=

34

，
∴AB=

AC

2

=

17

，
線段AP在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積=S_扇形BAC-S_扇形BPQ=

90•π•( 17 )2

360

-

90•π•( 2 )2

360

=

15

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積公式．