Question

1．已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點B（1，0）和點C（9，0）兩點，與y軸的負半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為y軸正半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D，交拋物線于點N．
（1）求點A坐標和⊙P的半徑；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當(dāng)△MOB與以點B、C、D為頂點的三角形相似時，求△CDN的面積．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE⊥BC，垂足為E，連結(jié)AP．依據(jù)垂徑定理可知BE=EC=4則OE=5，然后再證明四邊形AOEP為矩形可求得到AP=OE=5，在Rt△BEP中，依據(jù)勾股定理可求得PE的長；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-9），將點A的坐標代入求解即可；
（3）△MOB為直角三角形，則△BDC為直角三角形，故此只存在∠BCD為直角的情況，則MB經(jīng)過點P，然后求得MB的解析式，將直線BM的解析式與拋物線的解析式組成方程組可求得點N的坐標，然后依據(jù)CD∥y軸可求得點CD的長，最后依據(jù)△CDN的面積=$\frac{1}{2}$DC•（x_N-x_D）求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示：過點P作PE⊥BC，垂足為E．

∵PE⊥BC，
∴BE=EC=4．
∴OE=5．
∵⊙P與y軸相切，
∴PA⊥y軸．
∵∠PAO=∠AOE=∠OEP=90°，
∴四邊形AOEP為矩形．
∴AP=OE=5，AO=EP．
∴⊙P的半徑為5．
在Rt△BEP中，PE=$\sqrt{B{P}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∴OA=3．
∴點A的坐標為（0，-3）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-9），將點A的坐標代入得：9a=-3，解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²$+\frac{10}{3}$x-3．

（3）如圖2所示：當(dāng)直線MB經(jīng)過點P時．

∵BD為⊙P的直徑，
∴∠BCD=90°．
∴∠BCD=∠MOB=90°．
又∵∠MBO=∠CBD，
∴△MOB∽△DCB．
設(shè)MB的解析式為y=kx+b，將點B和點D的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=$\frac{3}{4}$．
∴直線MB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$．
將x=9代入得y=-6．
∴CD=6．
將y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$與y=-$\frac{1}{3}$x²$+\frac{10}{3}$x-3聯(lián)立解得：x=1或x=$\frac{45}{4}$．
△CDN的面積=$\frac{1}{2}$DC•（x_N-x_D）=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{45}{4}$-9）=$\frac{27}{4}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了，切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂徑定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，得到直線MB經(jīng)過點P是解答本題的關(guān)鍵．