Question

9．如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，則∠A₁=32°；∠A₁BC與∠A₁CD的平分線相交于點(diǎn)A₂，得∠A₂；…；∠A_n-1BC與∠A_n-1CD的平分線相交于點(diǎn)A_n，要使∠A_n的度數(shù)為整數(shù)，則n的值最大為6．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠A=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出規(guī)律．

解答 解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}×$64°=32°；
∵A₁B、A₁C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
∴∠A₂=$\frac{1}{4}$∠A，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ∠A=$\frac{64°}{{2}^{n}}$，
∵∠A_n的度數(shù)為整數(shù)，
∵n=6．
故答案為：32°，6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的$\frac{1}{2}$是解題的關(guān)鍵．