Question

10．已知，拋物線的圖象過A（-3，0），B（-1，0），且與y軸交于（0，3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)C在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，是否存在以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）假設(shè)存在，分線段AB為對(duì)角線、線段AB為邊且點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)和線段AB為邊且點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)三種情況考慮，①當(dāng)線段AB為對(duì)角線時(shí)，則點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可找出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)線段AB為邊，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，由CD=AB可找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AD≠AB，此時(shí)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形不是菱形；③當(dāng)線段AB為邊，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，同②可找出此時(shí)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形不是菱形．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
將點(diǎn)A（-3，0）、B（-1，0）、（0，3）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²+4x+3．

（2）假設(shè)存在，分三種情況考慮：
①當(dāng)線段AB為對(duì)角線時(shí)，則點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，如圖1所示．
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-1）．
∵以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，1）；
②當(dāng)線段AB為邊，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖2所示．
∵A（-3，0），B（-1，0），拋物線對(duì)稱軸為x=-2，CD=AB，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-4，
∴D（-4，3），此時(shí)AD=$\sqrt{[-3-（-4{）]}^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AD≠AB，
即此時(shí)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形不是菱形；
③當(dāng)線段AB為邊，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖3所示．
同理可求出BC=$\sqrt{10}$≠AB，
即此時(shí)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形不是菱形．
綜上所述：存在以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、菱形的判定與性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式；（2）分線段AB為對(duì)角線、線段AB為邊且點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)和線段AB為邊且點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)三種情況考慮．