Question

11．已知∠ACB=90°，AC=BC，D為平面內(nèi)一點，AD⊥BD于D，連接DA，DB，DC．
（1）如圖①，求證：DA+DB=$\sqrt{2}$DC；
（2）如圖②，圖③，線段DA．DB，DC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，不需要證明；
（3）在（1），（2）的條件下，連按AB，若AB=6$\sqrt{2}$，∠DCB=30°，則CD=3$\sqrt{3}$+3．

Answer 1

分析 （1）作EC⊥CD交DA延長線于E，證出∠ACE=∠BCD，證明A、C、B、D四點共圓，得出∠CAE=∠CBD，由ASA證明△ACE≌△BCD，得出EC=DC，EA=DB，證出△DCE是等腰直角三角形，得出DE=$\sqrt{2}$DC，即可得出結(jié)論；
（2）圖②中，作EC⊥CD交DA于E，證出∠ACE=∠BCD，證明A、C、D、B四點共圓，得出∠CAE=∠CBD，由ASA證明△ACE≌△BCD，得出EC=DC，EA=DB，證出△DCE是等腰直角三角形，得出DE=$\sqrt{2}$DC，即可得出結(jié)論；
圖③中，作EC⊥CD交DB于E，解法同上；
（3）作BM⊥CD于M，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出BM=$\frac{1}{2}$BC，CM=$\sqrt{3}$BM，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BDC=∠BAC=45°，AC=BC=6，得出BM=3，CM=3$\sqrt{3}$，證出△BDM是等腰直角三角形，得出DM=BM=3，即可得出CD的長．

解答 （1）證明：作EC⊥CD交DA延長線于E，如圖①所示：
則∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴A、C、B、D四點共圓，
∴∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴EC=DC，EA=DB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$DC，
∵DE=DA+EA=DA+DB，
∴DA+DB=$\sqrt{2}$DC；
（2）解：圖②中，DA-DB=$\sqrt{2}$DC；理由如下：
作EC⊥CD交DA于E，如圖②所示：
則∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴A、C、D、B四點共圓，
∴∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴EC=DC，EA=DB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$DC，
∵DE=DA-EA=DA-DB，
∴DA-DB=$\sqrt{2}$DC；
圖③中，DB-DA=$\sqrt{2}$DC；理由如下：
作EC⊥CD交DB于E，如圖③所示：
則∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴A、D、C、B四點共圓，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴DC=EC，DA=EB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$DC，
∵DE=DB-EB=DB-DA，
∴DB-DA=$\sqrt{2}$DC；
（3）解：圖①中；作BM⊥CD于M，如圖④所示：
∵∠BCD=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC，CM=$\sqrt{3}$BM，
∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=6$\sqrt{2}$，
∴∠BDC=∠BAC=45°，AC=BC=6，
∴BM=3，CM=3$\sqrt{3}$，
∵BM⊥CD，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴DM=BM=3，
∴CD=CM+DM=3$\sqrt{3}$+3；
圖②中解法和答案與圖①相同；
故答案為：3$\sqrt{3}$+3．

點評 本題是三角形綜合題目，考查的全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、四點共圓、圓周角定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．