Question

15．在⊙O中，AB 是直徑，P是AB上的一點，且∠NPB=45°
（1）如圖1，若點P與圓心O重合，求$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的值；
（2）如圖2，若MP=1，NP=7，求$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的值；
（3）如圖3，當點P在AB上運動時，（2）中結論是否改變？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

分析 （1）設⊙O的半徑為r，利用MP=NP=AP=BP=r可計算出$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖2，作OH⊥MN于H，連接ON，根據(jù)垂徑定理得到MP=NP=$\frac{1}{2}$MN=4，則PH=3，再根據(jù)等腰直角三角形的性質得OH=PH=3，接著根據(jù)勾股定理計算出ON=5，然后計算$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的值；
（3）作OH⊥MN于H，連接OM，如圖2，設PM=a，PN=b，根據(jù)垂徑定理得到MP=NP=$\frac{a+b}{2}$，則PH=$\frac{a-b}{2}$，再根據(jù)等腰直角三角形的性質得OH=PH=$\frac{a-b}{2}$，接著根據(jù)勾股定理計算出OM=$\sqrt{ab}$，然后計算$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的中可得到$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）設⊙O的半徑為r，
∵點P與圓心O重合，
∴MP=NP=AP=BP=r，
∴$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{r}^{2}+{r}^{2}}{4{r}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖2，作OH⊥MN于H，連接ON，
∴MP=NP=$\frac{1}{2}$MN=4，
∴PH=MH-MP=4-1=3，
∵∠NPB=45°，
∴OH=PH=3，
在Rt△PON中，ON=$\sqrt{O{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{1}^{2}+{7}^{2}}{1{0}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）（2）中結論不改變．
作OH⊥MN于H，連接OM，如圖2，設PM=a，PN=b，
∴MP=NP=$\frac{a+b}{2}$，
∴PH=NH-PN=$\frac{a-b}{2}$，
∵∠NPB=45°，
∴∠OPH=45°，
∴OH=PH=$\frac{a-b}{2}$，
在Rt△OMH中，OM=$\sqrt{O{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{a+b}{2}）^{2}+（\frac{a-b}{2}）^{2}}$=$\sqrt{ab}$，
∴$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{（2\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和等腰直角三角形的性質；會運用勾股定理計算線段的長．過圓心作弦的垂線是常作的輔助線．