Question

16．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且BE=CF．連結(jié)CE，DF．將線段FD繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FG．
（1）依題意將圖1補(bǔ)全；
（2）連結(jié)EG，請判斷：EG與CF的數(shù)量關(guān)系是EG=CF，位置關(guān)系是EG∥CF；并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)FG經(jīng)過BE中點(diǎn)時，寫出求∠CDF度數(shù)的思路．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)要求畫出圖形即可；
（2）只要證明四邊形EGFC是平行四邊形即可；
（3）首先證明∠CDF=∠BCE=∠G，求出∠G即可解決問題．

解答 解：（1）如圖所示：
；

（2）EG與CF的數(shù)量關(guān)系是：EG=CF，位置關(guān)系是：EG∥CF；
證明：∵正方系A(chǔ)BCD，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°．
∵BE=CF，
∴△BCE≌△CDF
∴DF=CE，∠BEC=∠CFD．
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CFD=90°．
即CE⊥DF，
∵線段FD繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FG，
∴CE∥FG，DF=FG．
∴CE=FG．
∴四邊形GFCE是平行四邊形．
∴EG=CF，EG∥CF；
故答案為EG=CF，EG∥CF．

（3）當(dāng)FG經(jīng)過BE中點(diǎn)P時，
由△BCE≌△CDF，可得∠CDF=∠BCE．
由□GFCE，可得∠BCE=∠G．
即∠CDF═∠G，
由BE=CF=GE，可得PE=$\frac{1}{2}$GE；
利用銳角三角函數(shù)，可求∠G的度數(shù)，從而可求∠CDF的度數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．