Question

11．湖州素有魚(yú)米之鄉(xiāng)之稱(chēng)，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了20000kg淡水魚(yú)，計(jì)劃養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售．已知每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同，放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬(wàn)元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬(wàn)元（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本）．
（1）設(shè)每天的放養(yǎng)費(fèi)用是a萬(wàn)元，收購(gòu)成本為b萬(wàn)元，求a和b的值；
（2）設(shè)這批淡水魚(yú)放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m（kg），銷(xiāo)售單價(jià)為y元/kg．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知：m與t的函數(shù)關(guān)系為$m=\left\{\begin{array}{l}20000（{0≤t≤50}）\\ 100t+15000（{50＜t≤100}）\end{array}\right.$；y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
①分別求出當(dāng)0≤t≤50和50＜t≤100時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)將這批淡水魚(yú)放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤(rùn)為W元，求當(dāng)t為何值時(shí)，W最大？并求出最大值．（利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額-總成本）

Answer 1

分析 （1）由放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬(wàn)元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬(wàn)元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求解可得；
②就以上兩種情況，根據(jù)“利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額-總成本”列出函數(shù)解析式，依據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)和二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值即可得．

解答 解：（1）由題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+b=30.4}\\{20a+b=30.8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0.04}\\{b=30}\end{array}\right.$，
答：a的值為0.04，b的值為30；

（2）①當(dāng)0≤t≤50時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)解析式為y=k₁t+n₁，
將（0，15）、（50，25）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{{n}_{1}=15}\\{50{k}_{1}+{n}_{1}=25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{5}}\\{{n}_{1}=15}\end{array}\right.$，
∴y與t的函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{5}$t+15；
當(dāng)50＜t≤100時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)解析式為y=k₂t+n₂，
將點(diǎn)（50，25）、（100，20）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{50{k}_{2}+{n}_{2}=25}\\{100{k}_{2}+{n}_{2}=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{10}}\\{{n}_{2}=30}\end{array}\right.$，
∴y與t的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{10}$t+30；

②由題意，當(dāng)0≤t≤50時(shí)，
W=20000（$\frac{1}{5}$t+15）-（400t+300000）=3600t，
∵3600＞0，
∴當(dāng)t=50時(shí)，W_最大值=180000（元）；
當(dāng)50＜t≤100時(shí)，W=（100t+15000）（-$\frac{1}{10}$t+30）-（400t+300000）
=-10t²+1100t+150000
=-10（t-55）²+180250，
∵-10＜0，
∴當(dāng)t=55時(shí)，W_最大值=180250（元），
綜上所述，放養(yǎng)55天時(shí)，W最大，最大值為180250元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)相等關(guān)系列出利潤(rùn)的函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．