Question

8．定義：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“垂直四邊形”．
（1）理解：
如圖1，已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC=8，BD=7，求四邊形ABCD的面積．
（2）探究：
小明對(duì)“垂直四邊形”ABCD（如圖1）進(jìn)行了深入探究，發(fā)現(xiàn)其一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和．即AB²+CD²=AD²+BC²．你認(rèn)為他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？試說(shuō)明理由．
（3）應(yīng)用：
①如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒6個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜1），連結(jié)CP，BQ，PQ．當(dāng)四邊形BCQP是“垂直四邊形”時(shí)，求t的值．
②如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)EG．請(qǐng)直接寫出線段EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算；
（2）根據(jù)勾股定理列出算式，比較即可；
（3）①作PD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用t表示出AP、CQ、AD、PD，根據(jù)垂直四邊形的性質(zhì)列出方程，解方程即可；
②作CP⊥AB于P，GH⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于H，證明△CAP≌△GAH，得到PC=GH，設(shè)CA=x，根據(jù)勾股定理分別用x表示出BC和EG，計(jì)算即可．

解答 解：（1）理解：
四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×BD×AO$+\frac{1}{2}×$BD×OC
=$\frac{1}{2}×$BD×AC
=28；
（2）探究：
∵AC⊥BD，
∴AB²=OA²+OB²，
CD²=OD²+OC²，
AD²=OA²+OD²，
BC²=OC²+OB²，
∴AB²+CD²=OA²+OB²+OD²+OC²，
AD²+BC²=OA²+OB²+OD²+OC²，
∴AB²+CD²=AD²+BC²；
（3）應(yīng)用：
①如圖2，作PD⊥AC于D，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵PD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
由題意得，AP=5t，CQ=6t，
則$\frac{AD}{6}$=$\frac{PD}{8}$=$\frac{5t}{10}$，
解得，AD=3t，PD=4t，
∵四邊形BCQP是“垂直四邊形”，
∴BP²+CQ²=PQ²+BC²，即（10-5t）²+（6t）²=（4t）²+（6-9t）²+8²，
解得，t=$\frac{2}{9}$，
當(dāng)t=$\frac{2}{9}$時(shí)，四邊形BCQP是“垂直四邊形”；
②如圖3，作CP⊥AB于P，GH⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于H，
∵∠EAG+∠BAC=360°-90°-90°=180°，
∠EAG+∠GAH=180°，
∴∠BAC=∠GAH，
在△CAP和△GAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAP=∠GAH}\\{∠APC=∠AHG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△GAH，
∴PC=GH，
設(shè)CA=x，則AB=3x，
由勾股定理得BC=2$\sqrt{2}$x，
則PC=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴AH=$\frac{1}{3}$x，
由勾股定理得，EG=$\sqrt{E{H}^{2}+G{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{EG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂直四邊形的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂直四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．