Question

18．AB、CD是⊙O的直徑，E是$\widehat{BC}$上一點，EG⊥CD于G，EF⊥OB于F，若∠AOC=60°，F(xiàn)G=$\sqrt{7}$，求AB的長．

Answer 1

分析 連接OE，取OE的中點O′，連接O′F，GO′，由∠EGO=∠EFO=90°、∠GOF=180°-∠COD=120°得∠GEF=60°，根據(jù)∠EGO=∠EFO=90°得點E、G、O、F在⊙O上，延長GO′交⊙O′于R、連接RF得∠GFR=90°，根據(jù)圓周角定理知∠GRF=∠GEF=60°，在Rt△GRF中，由OE=GR=$\frac{GF}{sin∠GRF}$得⊙O的半徑，繼而得出答案．

解答 解：如圖所示，連接OE，取OE的中點O′，連接O′F，GO′，

∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠EGO=∠EFO=90°．
∴∠GEF+∠GOF=180°．
∵∠GOF=180°-∠COD=180°-60°=120°，
∴∠GEF=180°-120°=60°
∵∠EGO=∠EFO=90°，點O′是OE的中點，
∴點E、G、O、F在以點O′為圓心，O′O為半徑的圓上．
延長GO′交⊙O′于R，連接RF．
則有∠GRF=∠GEF=60°．
∵GR是⊙O′的直徑，
∴∠GFR=90°．
∴OE=GR=$\frac{GF}{sin∠GRF}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴AB=2OE=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查了四邊形的內(nèi)角和定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)等知識，而構(gòu)造輔助圓是解題的關(guān)鍵．