Question

1．如圖，二次函數y=ax²-2ax-3a（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．若以BD為直徑的⊙M經過點C．

（1）請直接寫出C，D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）⊙M上是否存在點E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，請求出所滿足的條件的E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）計算橫坐標為0的函數值即可得到C點坐標，然后將解析式配成頂點式即可得出點D的坐標；
（2）先利用二次函數與x軸的交點問題確定A點和B點坐標，再根據圓周角定理得到∠BCD=90°，則根據兩點間的距離公式得BC²=9a²+9，CD²=a²+1，BD²=16a²+4，接著利用勾股定理得到9a²+9+a²+1=16a²+4，然后解方程求出a即可得到二次函數解析式；
（3）先計算出CD²=2，BC²=18，再根據圓周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，則CD=BE，接著證明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，設E（x，y），根據兩點間的距離公式得（x-1）²+（y-4）²=18，（x-3）²+y²=2，然后解方程組得x=4，y=1或x=$\frac{8}{5}$，y=-$\frac{1}{5}$，從而可得滿足條件的E點坐標．

解答 解：（1）當x=0時，ax²-2ax-3a-3a，則點C的坐標為（0，-3a）；
∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴點D的坐標為（1，-4a）；
（2）當y=0時，ax²-2ax-3a=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
∵BD為⊙M的直徑，
∴∠BCD=90°，
而BC²=（0-3）²+（-3a-0）²=9a²+9，CD²=（0-1）²+（-3a+4a）²=a²+1，BD²=（3-1）²+（0+4a）²=16a²+4，
在Rt△BCD中，∵BC²+CD²=BD²，
∴9a²+9+a²+1=16a²+4，
整理得a²=1，解得a₁=-1，a₂=1（舍去）；
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+3；
（3）存在．
a=1，CD²=a²+1=2，BC²=9a²+9=18，
∵∠EDB=∠CBD，
∴CD=BE，
而BD為直徑，
∴∠BED=90°，
∴Rt△BED≌Rt△DCB，
∴DE=BC，
設E（x，y），
∴ED²=（x-1）²+（y-4）²，BE²=（x-3）²+y²，
∴（x-1）²+（y-4）²=18，（x-3）²+y²=2，
解得x=4，y=1或x=$\frac{8}{5}$，y=-$\frac{1}{5}$，
∴滿足條件的E點坐標為（4，1）、（$\frac{8}{5}$，-$\frac{1}{5}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數與x軸的交點問題和圓周角定理；理解坐標與圖形性質，會利用兩點間的距離公式計算線段的長．