Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M，交BC于點G，交 AB于點F．
（1）求證：AE為⊙O的切線．
（2）當(dāng)BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OM．利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質(zhì)得到$\frac{R}{4}$=$\frac{12-R}{12}$，即可解得R=3，從而求得⊙O的半徑為3；
（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2．

解答 （1）證明：連接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$即$\frac{R}{4}$=$\frac{12-R}{12}$，
解得R=3，
∴⊙O的半徑為3；

（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四邊形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2．

點評 本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．