Question

4．如圖，已知正方形ABCD中，邊長為10cm，點(diǎn)E在AB邊上，BE=6cm．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上以acm/秒的速度由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，
①CP的長為10-4tcm（用含t的代數(shù)式表示）；
②若以E、B、P為頂點(diǎn)的三角形和以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，求a的值．
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿正方形ABCD四邊運(yùn)動．則點(diǎn)P與點(diǎn)Q會不會相遇？若不相遇，請說明理由．若相遇，求出經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在正方形ABCD的何處相遇？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形邊長為10cm和點(diǎn)P在線段BC上的速度為4cm/秒即可求出CP的長；
②分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP兩種情況進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）①PC=BC-BP=10-4t；
②當(dāng)△BPE≌△CPQ時，
BP=PC，BE=CQ，
即4t=10-4t，at=6，
解得a=4.8；
當(dāng)△BPE≌△CQP時，
BP=CQ，BE=PC，
即4t=at，10-4t=6，
解得a=4；
（2）當(dāng)a=4.8時，
由題意得，4.8t-4t=30，
解得t=37.5，
∴點(diǎn)P共運(yùn)動了37.5×4=150cm，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q在點(diǎn)A相遇，
當(dāng)a=4時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度相等，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q不會相遇．
∴經(jīng)過37.5秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在點(diǎn)A相遇．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．