Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最��？若存在，求出△PAC周長的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖②點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標(biāo)為m．
①請用m的代數(shù)式表示MN的長；
②連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)先端垂直平分線的性質(zhì)，可得對稱軸上的點到線段兩端點的距離相等，根據(jù)兩點之間線段最短，可得答案；
（3）①根據(jù)平行于y的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得答案；
②根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）將A，B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）如圖，
由A，B關(guān)于x=$\frac{5}{2}$對稱，得
PA=PB，
由兩點之間選段最短，得
PC+PA=PB．
C_△CPA=PC+PA+AC=CB+CA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=5+$\sqrt{10}$；
（3）如圖2，
①由待定系數(shù)法，得
BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，設(shè)M點的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N點的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）．
由平行于y的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，得
MN=-$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）
=-$\frac{3}{4}$m²+3m；
②由三角形的面積，得
S_△NBC=$\frac{1}{2}$MN（x_B-x_C）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{4}$m²+3m）×4
=-$\frac{3}{2}$m²+6m
=-$\frac{3}{2}$（m²-4m）
=-$\frac{3}{2}$（m-2）²+6
當(dāng)m=2時，△BNC的面積最大．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得出P點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（3）利用三角形的面積得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．