Question

11．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，若PA⊥AB，PO過AC的中點M，求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

分析 連接OC，如圖，先利用垂徑定理的推理得到OM⊥AC，則可判斷PO垂直平分AC，所以PA=PC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠PAC=∠PCA，加上∠OAC=∠OCA，易得∠PCO=∠PA0=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得結論．

解答 證明：連接OC，如圖，
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90⁰，
∵PO過AC的中點M，
∴OM⊥AC，
∴PO垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
而OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠CAO=∠PA0=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．