Question

4．已知關(guān)于x的方程：x²+2$\sqrt{2}$x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=-10，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得到△＞0，列出k的不等式，求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂=-2$\sqrt{2}$，x₁x₂=k，進(jìn)而得到k的值．

解答 解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△＞0，
即${（2\sqrt{2}）^2}-4k＞0$，
∴k＜2．
（2）由根與系數(shù)關(guān)系有：${x_1}+{x_2}=-2\sqrt{2}$，x₁•x₂=k．
∵$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-10$，
∴${x_1}^2+{x_2}^2=-10{x_1}{x_2}$，
∴${（{x_1}+{x_2}）^2}=-8{x_1}{x_2}$，
∴${（-2\sqrt{2}）^2}=-8k$，
∴k=-1．

點評 本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根以及要掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系，此題難度一般．