Question

13．如圖，C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，且AB=8cm，弧$\widehat{CD}$的度數(shù)為60°，線段AC，AD與弧CD圍成了圖中的陰影部分．
（1）當(dāng)CD∥AB時，圖中陰影部分的面積為$\frac{8}{3}$πcm²；
（2）當(dāng)C，D在半圓上運動時，陰影部分的最大面積為$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 （1）連接OC、OD，根據(jù)已知條件可得∠COD=60°，△OCD是等邊三角形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積求解即可；
（2）利用圖形可得出當(dāng)C，D有一個點與A或B重合時此時陰影部分面積最大，進而求出即可．

解答 解：（1）如圖1，連接OC、OD．
∵弧$\widehat{CD}$的度數(shù)為60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，CD=OC=$\frac{1}{2}$AB=8cm．
∵CD∥AB，
∴△OCD與△CDA是等底等高的三角形，
∴S_陰影=S_扇形OCD=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π（cm²）；
故答案是：$\frac{8}{3}$π 

（2）如圖2，當(dāng)C，D有一個點與A或B重合時此時陰影部分面積最大，

連接CO，過點C作CE⊥AB于點E，
∵AB=8，∴AO=CO=4，
∵$\widehat{CD}$的度數(shù)為60°，
∴∠CAD=30°，∠COE=60°，
∴EO=2，則EC=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的最大面積為：$\frac{1}{2}$AO×EC+S_扇形COB=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$+$\frac{8π}{3}$．
故答案是：$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$

點評 本題考查了扇形面積的計算，判斷出△OCD與△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等邊三角形，利用扇形的面積公式求解是解題關(guān)鍵．